13) Вычислите \( \sin 15^{\circ} \) без помощи таблиц.

Решение:

Воспользуемся формулой синуса разности углов: \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).

Представим \( 15^{\circ} \) как разность известных углов, например, \( 45^{\circ} - 30^{\circ} \) или \( 60^{\circ} - 45^{\circ} \). Возьмём \( 45^{\circ} - 30^{\circ} \).

\( \sin 15^{\circ} = \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \)

Подставим известные значения синусов и косинусов:

• \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)

\( \sin 15^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \)

\( = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{4} \)

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \)

\( = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)

Ответ: \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).