4) Найдите значение cos α, если sin α = \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставим данное значение \( \sin \alpha \):

\( \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{2}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{2}{9} \)

\( \cos^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} \)

\( \cos^2 \alpha = \frac{7}{9} \)

Извлечём квадратный корень:

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{9}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \)

По условию \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то есть \( \alpha \) находится в первой четверти. В первой четверти косинус положителен.

Следовательно, \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} \).

Ответ: 3) \(\frac{\sqrt{7}}{3}\).