6) Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \( \sqrt{125 - 4x^2} = -x \).

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{125 - 4x^2} = -x \) необходимо учесть следующие условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 125 - 4x^2 \ge 0 \).
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как корень квадратный не может быть отрицательным: \( -x \ge 0 \), что означает \( x \le 0 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( 125 - 4x^2 = (-x)^2 \)

\( 125 - 4x^2 = x^2 \)

\( 125 = x^2 + 4x^2 \)

\( 125 = 5x^2 \)

\( x^2 = \frac{125}{5} \)

\( x^2 = 25 \)

\( x = \pm 5 \)

Теперь проверим полученные корни с учётом условий:

• Условие \( x \le 0 \) исключает \( x = 5 \).
• Остаётся \( x = -5 \). Проверим первое условие \( 125 - 4x^2 \ge 0 \): \( 125 - 4(-5)^2 = 125 - 4(25) = 125 - 100 = 25 \). \( 25 \ge 0 \), условие выполняется.
• Проверим само уравнение: \( \sqrt{125 - 4(-5)^2} = -(-5) \) → \( \sqrt{25} = 5 \) → \( 5 = 5 \). Решение \( x = -5 \) верное.

Теперь определим, какому промежутку принадлежит \( x = -5 \).

• 1) \( [\frac{4}{3}; 36] \) - не подходит.
• 2) \( (-\infty;-10) \) - \( -5 \) не входит в этот интервал.
• 3) \( (\frac{4}{3}; 40] \) - не подходит.
• 4) \( (-\infty; -\frac{4}{3}] \) - \( -5 \) входит в этот интервал, так как \( -5 = -\frac{15}{3} \) и \( -\frac{15}{3} \le -\frac{4}{3} \).

Ответ: 4) \( (-\infty; -\frac{4}{3}] \).