7. Решите уравнение \( \log_{x-7} 64 = 2 \). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

По определению логарифма, \( 64 = (x-7)^2 \).

Решим полученное квадратное уравнение:

\[ (x-7)^2 = 64 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x-7 = \pm \sqrt{64} \]

\[ x-7 = \pm 8 \]

Два возможных случая:

1. \( x-7 = 8 \) \(\implies\) \( x = 7 + 8 = 15 \).

2. \( x-7 = -8 \) \(\implies\) \( x = 7 - 8 = -1 \).

Проверим условие существования логарифма: основание \( x-7 \) должно быть положительным и не равным 1.

При \( x=15 \): \( x-7 = 15-7 = 8 \). \( 8 > 0 \) и \( 8
e 1 \). Этот корень подходит.

При \( x=-1 \): \( x-7 = -1-7 = -8 \). \( -8 \le 0 \). Этот корень не подходит.

Ответ: 15.