12. Найдите точку максимума функции \( y = x^3 + 20x^2 + 100x + 23 \).

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти первую производную, приравнять её к нулю и определить знак производной на интервалах.

Найдем первую производную функции \( y = x^3 + 20x^2 + 100x + 23 \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 20x^2 + 100x + 23) \]

\[ y' = 3x^2 + 40x + 100 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 + 40x + 100 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1600 - 1200 = 400 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-40 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{-40 + 20}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-40 - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{-40 - 20}{6} = \frac{-60}{6} = -10 \]

Теперь определим знак производной на интервалах \( (-\infty, -10) \), \( (-10, -10/3) \) и \( (-10/3, \infty) \).

Выберите тестовую точку из \( (-\infty, -10) \), например, \( x = -11 \):

\[ y'(-11) = 3(-11)^2 + 40(-11) + 100 = 3(121) - 440 + 100 = 363 - 440 + 100 = 23 \] (знак +).

Выберите тестовую точку из \( (-10, -10/3) \), например, \( x = -5 \) (так как \( -10/3 \approx -3.33 \)):

\[ y'(-5) = 3(-5)^2 + 40(-5) + 100 = 3(25) - 200 + 100 = 75 - 200 + 100 = -25 \] (знак -).

Выберите тестовую точку из \( (-10/3, \infty) \), например, \( x = 0 \):

\[ y'(0) = 3(0)^2 + 40(0) + 100 = 100 \] (знак +).

Производная меняет знак с плюса на минус в точке \( x = -10 \), значит, в этой точке функция имеет максимум.

Производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = -10/3 \), значит, в этой точке функция имеет минимум.

Ответ: -10.