6. Найдите корень уравнения \( 36^{x-12} = \frac{1}{6} \).

Решение:

Приведём обе части уравнения к одному основанию. Основание \( 36 \) можно представить как \( 6^2 \).

\( (6^2)^{x-12} = \frac{1}{6} \)

По свойству степеней \( (a^m)^n = a^{m × n} \):

\( 6^{2(x-12)} = \frac{1}{6} \)

\( 6^{2x - 24} = \frac{1}{6} \)

Так как \( \frac{1}{6} = 6^{-1} \), то:

\( 6^{2x - 24} = 6^{-1} \)

Приравняем показатели степеней:

\( 2x - 24 = -1 \)

Решим линейное уравнение:

\( 2x = -1 + 24 \)

\( 2x = 23 \)

\( x = \frac{23}{2} \)

\( x = 11.5 \)

Ответ: 11.5