6) Решите уравнение √125 - 4x² = -x.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( 125 - 4x^2 = (-x)^2 \)

\( 125 - 4x^2 = x^2 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 125 = x^2 + 4x^2 \)

\( 125 = 5x^2 \)

Разделим обе части на 5:

\( x^2 = \frac{125}{5} \)

\( x^2 = 25 \)

Извлечём квадратный корень:

\( x = \pm 5 \)

Теперь проверим полученные корни в исходном уравнении \( \sqrt{125 - 4x^2} = -x \). Так как корень квадратный из неотрицательного числа должен быть неотрицательным, то \( -x \ge 0 \), следовательно, \( x \le 0 \).

Проверим \( x = 5 \): \( \sqrt{125 - 4(5)^2} = \sqrt{125 - 4(25)} = \sqrt{125 - 100} = \sqrt{25} = 5 \). Но \( -x = -5 \). \( 5 \neq -5 \). Значит, \( x = 5 \) не является решением.

Проверим \( x = -5 \): \( \sqrt{125 - 4(-5)^2} = \sqrt{125 - 4(25)} = \sqrt{125 - 100} = \sqrt{25} = 5 \). И \( -x = -(-5) = 5 \). \( 5 = 5 \). Значит, \( x = -5 \) является решением.

Ответ: -5