6. Доказать тождество $$\sin 2\alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1$$

Решение:

Докажем тождество, преобразовав правую часть:

1. Раскроем квадрат суммы в правой части: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \).
2. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
3. Подставим это в раскрытое выражение: \( 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \).
4. Теперь вся правая часть тождества выглядит так: \( (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) - 1 \).
5. Упростим: \( 2\sin \alpha \cos \alpha \).
6. Известно, что \( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \).
7. Таким образом, правая часть равна левой части: \( 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

Тождество доказано.