13. Решите систему: $$\begin{cases} 2x-3y = 6 \\ 2^x \cdot 2^y = 8 \end{cases}$$

Решение:

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} 2x-3y = 6 \\ 2^x \cdot 2^y = 8 \end{cases}\)

1. Преобразуем второе уравнение: \( 2^x \cdot 2^y = 2^{x+y} \).
2. \( 2^{x+y} = 8 \). Так как \( 8 = 2^3 \), то \( 2^{x+y} = 2^3 \).
3. Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует: \( x+y = 3 \).
4. Теперь у нас есть новая система: \(\begin{cases} 2x-3y = 6 \\ x+y = 3 \end{cases}\)
5. Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 3 - y \).
6. Подставим это выражение в первое уравнение: \( 2(3 - y) - 3y = 6 \).
7. \( 6 - 2y - 3y = 6 \).
8. \( 6 - 5y = 6 \).
9. \( -5y = 6 - 6 \).
10. \( -5y = 0 \).
11. \( y = 0 \).
12. Найдем \( x \) подставив \( y=0 \) в \( x = 3 - y \): \( x = 3 - 0 \) \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 3, y = 0 \).