14. Вычислите определенный интеграл: $$\int_{-1}^{0} (x^2-2x)(3-2x):(x-2)dx$$

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int_{-1}^{0} \frac{(x^2-2x)(3-2x)}{x-2}dx \) сначала упростим подынтегральную функцию.

1. Вынесем \( x \) из первой скобки: \( x(x-2) \).
2. Теперь подынтегральная функция выглядит так: \( \frac{x(x-2)(3-2x)}{x-2} \).
3. Сократим \( (x-2) \) (при \( x \neq 2 \), что выполняется в пределах интегрирования от -1 до 0): \( x(3-2x) \).
4. Раскроем скобки: \( 3x - 2x^2 \).
5. Теперь нам нужно вычислить интеграл: \( \int_{-1}^{0} (3x - 2x^2)dx \).
6. Найдем первообразную: \( \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \).
7. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( [\frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_{-1}^{0} \).
8. Подставим верхний предел \( x=0 \): \( \frac{3(0)^2}{2} - \frac{2(0)^3}{3} = 0 - 0 = 0 \).
9. Подставим нижний предел \( x=-1 \): \( \frac{3(-1)^2}{2} - \frac{2(-1)^3}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2(-1)}{3} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \).
10. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6} \).
11. Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела: \( 0 - \frac{13}{6} = -\frac{13}{6} \).

Ответ: \( -\frac{13}{6} \).