49. 24 Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)=\(\frac{1-x}{x^2+8}\) отрицательно.

Решение:

Нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f'(x) < 0 \).

1. Найдем производную функции \( f(x) = \frac{1-x}{x^2+8} \) с помощью правила дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
2. Пусть \( u = 1-x \) и \( v = x^2+8 \). Тогда \( u' = -1 \) и \( v' = 2x \).
3. \( f'(x) = \frac{-1 · (x^2+8) - (1-x) · 2x}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2-8 - (2x - 2x^2)}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2-8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} \).
4. Нам нужно решить неравенство \( f'(x) < 0 \), то есть \( \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} < 0 \).
5. Знаменатель \( (x^2+8)^2 \) всегда положителен.
6. Следовательно, неравенство сводится к \( x^2 - 2x - 8 < 0 \).
7. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \), \( x_1 · x_2 = -8 \). Корни: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -2 \).
8. Парабола \( y = x^2 - 2x - 8 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 2x - 8 < 0 \) при \( -2 < x < 4 \).

Ответ: \( -2 < x < 4 \).