47. 22 Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)=\(\frac{1+x}{x^2+3}\) отрицательно.

Решение:

Нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f'(x) < 0 \).

1. Найдем производную функции \( f(x) = \frac{1+x}{x^2+3} \) с помощью правила дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
2. Пусть \( u = 1+x \) и \( v = x^2+3 \). Тогда \( u' = 1 \) и \( v' = 2x \).
3. \( f'(x) = \frac{1 · (x^2+3) - (1+x) · 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - (2x + 2x^2)}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - 2x - 2x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} \).
4. Нам нужно решить неравенство \( f'(x) < 0 \), то есть \( \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} < 0 \).
5. Знаменатель \( (x^2+3)^2 \) всегда положителен, так как \( x^2 · 0 \), то есть \( x^2+3 > 0 \) для всех \( x \).
6. Следовательно, неравенство сводится к \( -x^2 - 2x + 3 < 0 \).
7. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 + 2x - 3 > 0 \).
8. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2 \), \( x_1 · x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -3 \).
9. Парабола \( y = x^2 + 2x - 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 2x - 3 > 0 \) при \( x < -3 \) или \( x > 1 \).

Ответ: \( x < -3 \) или \( x > 1 \).