4. Вычислите значение выражения: \( \cos 2x \), если \( \sin x = -0,4 \), \( x \in III \) ч.

Решение:

1. Найдем \( \cos x \) по основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84 \)

Так как \( x \) находится в III четверти, \( \cos x \) отрицательный:

\( \cos x = -\sqrt{0,84} = -\sqrt{\frac{84}{100}} = -\frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = -\frac{2\sqrt{21}}{10} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \)

2. Найдем \( \cos 2x \) по формуле двойного угла \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \):

\( \cos 2x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{21}{25} - 1 = \frac{42}{25} - \frac{25}{25} = \frac{17}{25} \)

Ответ: \( \frac{17}{25} \).