4. Вычислите значение выражения: \( \cos 2x \), если \( \sin x = -0.4 \), \( x \in III \) ч.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
2. Найдем \( \cos^2 x \): \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-0.4)^2 = 1 - 0.16 = 0.84 \).
3. Так как \( x \) находится в III четверти, \( \cos x < 0 \). Следовательно, \( \cos x = -\sqrt{0.84} = -\sqrt{\frac{84}{100}} = -\frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = -\frac{2\sqrt{21}}{10} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \).
4. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).
5. Подставим найденное значение \( \cos^2 x \): \( \cos 2x = 2(0.84) - 1 = 1.68 - 1 = 0.68 \).

Ответ: 0.68.