4.(1 балл) Найдите ctg а если \( \sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}} \) и \( \alpha \in (\pi : \frac{3\pi}{2}) \)

Решение:

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Выразим \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
3. Подставим значение \( \sin \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{26-25}{26} = \frac{1}{26} \).
4. Найдем \( \cos \alpha \): \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{26}} = \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \).
5. Угол \( \alpha \) принадлежит третьей четверти (от \( \pi \) до \( \frac{3\pi}{2} \)), где косинус отрицателен.
6. Значит, \( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}} \).
7. Теперь найдем \( \operatorname{ctg} \alpha \) по формуле: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
8. Подставим значения: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{-\frac{1}{\sqrt{26}}}{-\frac{5}{\sqrt{26}}} = \frac{1}{5} \).

Ответ: \( \frac{1}{5} \).