(3 балла) Решите уравнение: 9ˣ - 8·3ˣ + 7 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( 3^x \).

1. Заменим \( 9^x \) как \( (3^2)^x = (3^x)^2 \).
2. Пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 8y + 7 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение для \( y \): \( y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \)
4. \( y_1 = \frac{8 - 6}{2} = 1 \)
5. \( y_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \)
6. Теперь вернёмся к замене: \( 3^x = y \).
7. Случай 1: \( 3^x = 1 \). Так как \( 3^0 = 1 \), то \( x = 0 \).
8. Случай 2: \( 3^x = 7 \). Логарифмируем обе части по основанию 3: \( x = \log_3 7 \).

Ответ: \( x = 0, x = \log_3 7 \)