(1 балл) Найдите промежутки монотонности функции у =2х² – 1/3 х³ - 3х - 4

Решение:

Чтобы найти промежутки монотонности, нужно найти производную функции и определить знаки на интервалах.

1. Найдем производную функции: \( y' = (2x^2 - \frac{1}{3}x^3 - 3x - 4)' \)
2. \( y' = 4x - x^2 - 3 \)
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \)
4. \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \)
6. \( x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \)
7. \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
8. Определим знаки производной на интервалах: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 3) \), \( (3, +\infty) \).
9. На интервале \( (-\infty, 1) \) (например, при \( x=0 \)), \( y' = 4(0) - 0^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
10. На интервале \( (1, 3) \) (например, при \( x=2 \)), \( y' = 4(2) - 2^2 - 3 = 8 - 4 - 3 = 1 > 0 \). Функция возрастает.
11. На интервале \( (3, +\infty) \) (например, при \( x=4 \)), \( y' = 4(4) - 4^2 - 3 = 16 - 16 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на \( [1; 3] \), убывает на \( (-\infty; 1] \) и \( [3; +\infty) \).