22. Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит ее пополам. Найдите сторону AB, если сторона AC равна 18.

Решение:

Пусть AD перпендикулярна BM и пересекает BM в точке D. По условию, D — середина BM. AD ⊥ BM.

Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \).

BM — медиана, значит, \( AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} · 18 = 9 \).

В \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \):

1. \( AM = MC = 9 \).

2. \( BM \) — общая сторона.

3. \( \angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ} \) (так как AD ⊥ BM).

4. \( BD = DM \) (так как D — середина BM).

По признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, или по двум сторонам и медиане), \( \triangle ABM = \triangle CBM \).

Если \( \triangle ABM = \triangle CBM \), то \( AB = CB \) и \( \angle BAM = \angle BCM \).

Треугольник ABC — равнобедренный.

Рассмотрим \( \triangle ADM \) и \( \triangle CDB \).

\( DM = BD \).

\( \angle ADM = \angle CDB \) (вертикальные углы).

\( \angle AMD = \angle CBD \) (так как \( \triangle ABM = \triangle CBM \), то \( \angle AMB = \angle CMB \). Так как AD ⊥ BM, то \( \triangle ADM \) и \( \triangle CDB \) прямоугольные.

В \( \triangle ADM \) и \( \triangle CDB \):

\( DM = BD \).

\( \angle ADM = \angle CDB = 90^{\circ} \).

\( \angle AMD = \angle CMB \).

Тогда \( \triangle ADM = \triangle CDB \) по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, \( AM = CB \). Но \( AM = 9 \), значит \( CB = 9 \).

Так как \( AB = CB \) (из равенства \( \triangle ABM = \triangle CBM \)), то \( AB = 9 \).

Ответ: AB = 9.