21. В треугольнике ABC углы А и С равны 30° и 40° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Решение:

Сумма углов треугольника ABC равна 180°.

\( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 40^{\circ} = 110^{\circ} \).

BD — биссектриса угла B, значит, \( \angle ABD = \angle CBD = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} · 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

BH — высота, значит, \( \angle BHA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.

\( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Искомый угол — это \( \angle DBH \).

\( \angle DBH = \angle ABD - \angle ABH = 55^{\circ} - 60^{\circ} \).

Здесь возникает противоречие, так как \( \angle ABH \) больше \( \angle ABD \), что невозможно, если D лежит между A и H. Это означает, что точка D лежит вне отрезка BH, или что угол A и C перепутаны.

Давайте пересчитаем, если \( \angle A = 40^{\circ} \) и \( \angle C = 30^{\circ} \).

\( \angle B = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 30^{\circ} = 110^{\circ} \).

\( \angle ABD = \angle CBD = \frac{1}{2} · 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABH:

\( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

\( \angle DBH = \angle ABD - \angle ABH = 55^{\circ} - 50^{\circ} = 5^{\circ} \).

Если же \( \angle A = 30^{\circ} \) и \( \angle C = 40^{\circ} \), то \( \angle ABH = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \). \( \angle ABD = 55^{\circ} \).

В этом случае \( \angle DBH = \angle ABH - \angle ABD = 60^{\circ} - 55^{\circ} = 5^{\circ} \).

Ответ: 5.