19. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC=56 и BC=BM. Найдите АН.

Решение:

Рассмотрим треугольник BHC. Он является прямоугольным, так как BH - высота.

По условию, BC = BM. Также BM — медиана, значит, M — середина AC.

Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Значит, \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( AC = 56 \).

Так как \( BC = BM \), то \( \triangle BMC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BCM = \angle BMC \).

BH — высота, значит, \( \angle BHC = 90^{\circ} \). В \( \triangle BHC \), \( \angle BCH + \angle HBC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle BAC + \angle BCA = 90^{\circ} \).

Из \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( BC = BM \), следует, что M — центр описанной окружности для \( \triangle ABC \), а AC — диаметр. Значит, \( BM = AM = MC = \frac{1}{2} AC \).

Так как \( BC = BM \), то \( BC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} · 56 = 28 \).

Теперь найдем AH, используя прямоугольный треугольник ABH.

По теореме Пифагора в \( \triangle ABC \): \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)

\( AB^2 + 28^2 = 56^2 \)

\( AB^2 + 784 = 3136 \)

\( AB^2 = 3136 - 784 = 2352 \)

\( AB = \sqrt{2352} = \sqrt{784 · 3} = 28\sqrt{3} \).

Теперь используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: \( BH^2 = AH · HC \) и \( AB^2 = AH · AC \).

\( (28\sqrt{3})^2 = AH · 56 \)

\( 2352 = AH · 56 \)

\( AH = \frac{2352}{56} = 42 \).

Ответ: AH = 42.