20. В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что AC = 76, HC = 19. ∠ACB = 80°. Найдите ∠AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике BHC:

\( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ} \).

M — середина AC, значит, \( AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} · 76 = 38 \).

\( MC = 38 \).

\( HC = 19 \).

\( MH = MC - HC = 38 - 19 = 19 \).

В прямоугольном треугольнике BHC:

\( BH = HC · \tan(\angle C) = 19 · \tan(80^{\circ}) \).

Рассмотрим треугольник AMB.

По теореме косинусов для треугольника BHC:

\( BC^2 = BH^2 + HC^2 = (19 · \tan(80^{\circ}))^2 + 19^2 = 19^2 (\tan^2(80^{\circ}) + 1) = 19^2 \cdot \frac{1}{\cos^2(80^{\circ})} \)

\( BC = \frac{19}{\cos(80^{\circ})} \).

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Стороны: \( AM = 38 \), \( BM \) (медиана). Мы знаем \( BC = \frac{19}{\cos(80^{\circ})} \).

По теореме о медиане, проведенной к стороне \( AC \), если \( \angle ABC \) не равен \( 90^{\circ} \):

\( BM^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4} \).

Нам нужно найти \( \angle AMB \). Рассмотрим треугольник BHM. Он прямоугольный.

\( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} = \frac{19 · \tan(80^{\circ})}{19} = \tan(80^{\circ}) \).

Следовательно, \( \angle AMB = 80^{\circ} \).

Ответ: 80.