1971. Периметр прямоугольника равен 34, а диагональ равна 13. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

1. Периметр \( P = 2(a + b) = 34 \).
2. Отсюда \( a + b = \frac{34}{2} = 17 \).
3. По теореме Пифагора, \( a^2 + b^2 = d^2 \), где \( d \) — диагональ.
4. \( a^2 + b^2 = 13^2 = 169 \).
5. Возведём в квадрат первое уравнение: \( (a + b)^2 = 17^2 \).
6. \( a^2 + 2ab + b^2 = 289 \).
7. Подставим \( a^2 + b^2 = 169 \): \( 289 = 169 + 2ab \).
8. \( 2ab = 289 - 169 = 120 \).
9. Площадь прямоугольника \( S = ab = \frac{120}{2} = 60 \).

Ответ: 60.