1969. Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

1. Периметр \( P = 2(a + b) = 30 \).
2. Отсюда \( a + b = \frac{30}{2} = 15 \).
3. По теореме Пифагора, \( a^2 + b^2 = d^2 \), где \( d \) — диагональ.
4. \( a^2 + b^2 = 14^2 = 196 \).
5. Возведём в квадрат первое уравнение: \( (a + b)^2 = 15^2 \).
6. \( a^2 + 2ab + b^2 = 225 \).
7. Подставим \( a^2 + b^2 = 196 \): \( 196 + 2ab = 225 \).
8. \( 2ab = 225 - 196 = 29 \).
9. Площадь прямоугольника \( S = ab = \frac{29}{2} = 14.5 \).

Ответ: 14.5.