14. Вычислите определенный интеграл: ∫[от -1 до 0] (x² - 2x)(3 - 2x) / (x - 2) dx

Решение:

Вычислим интеграл: \( \int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} dx \).

1. Преобразуем выражение под интегралом:
• \( x^2 - 2x = x(x-2) \)
• \( \frac{x(x-2)(3-2x)}{x-2} \)
• Сократим \( (x-2) \) (при условии \( x \neq 2 \), что выполняется в пределах интегрирования от -1 до 0).
• Остаётся выражение: \( x(3-2x) = 3x - 2x^2 \).
2. Теперь вычислим интеграл от упрощённого выражения: \( \int_{-1}^{0} (3x - 2x^2) dx \).
3. Найдём первообразную: \( F(x) = \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \).
4. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( F(0) - F(-1) \).
5. \( F(0) = \frac{3(0)^2}{2} - \frac{2(0)^3}{3} = 0 - 0 = 0 \).
6. \( F(-1) = \frac{3(-1)^2}{2} - \frac{2(-1)^3}{3} = \frac{3(1)}{2} - \frac{2(-1)}{3} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \).
7. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6} \).
8. \( F(0) - F(-1) = 0 - \frac{13}{6} = -\frac{13}{6} \).

Ответ: \( -\frac{13}{6} \).