12. (3 балла) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y=x^2-4x \) и осью Ох.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линией \( y = x^2 - 4x \) и осью Ох (т.е. \( y = 0 \)), сначала найдем точки пересечения этих линий. Приравняем уравнения:

\( x^2 - 4x = 0 \)

Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(x - 4) = 0 \)

Отсюда находим корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).

Парабола \( y = x^2 - 4x \) ветвями направлена вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен). Между корнями \( x=0 \) и \( x=4 \) функция принимает отрицательные значения.

Площадь фигуры можно найти как интеграл от абсолютного значения функции на отрезке от \( 0 \) до \( 4 \), или как минус интеграл от функции, так как она отрицательна на этом отрезке:

\( S = -\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) dx \).

Вычислим интеграл:

\( \int (x^2 - 4x) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C \).

Теперь найдем определенный интеграл:

\( S = -\left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{0}^{4} \) = \( -\left( (\frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2) - (\frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2) \right) \)

\( S = -\left( (\frac{64}{3} - 2 \cdot 16) - (0) \right) \)

\( S = -\left( \frac{64}{3} - 32 \right) \)

\( S = -\left( \frac{64}{3} - \frac{96}{3} \right) \)

\( S = -\left( -\frac{32}{3} \right) = \frac{32}{3} \).

Ответ: \(\frac{32}{3}\).