10. (2 балла) Решите уравнение: \( 3(\sin x)^2 - 5 \sin x - 2 = 0 \).

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( y = \sin x \).

Тогда уравнение примет вид: \( 3y^2 - 5y - 2 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \).

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \).

\( y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \).

Теперь вернемся к \( \sin x \):

1) \( \sin x = 2 \) — это уравнение не имеет решений, так как \( \sin x \) может принимать значения только в диапазоне \( [-1; 1] \).

2) \( \sin x = -\frac{1}{3} \).

Решением этого уравнения являются:

\( x = \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Учитывая, что \( \arcsin(-z) = -\arcsin(z) \):

\( x = -\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k \) и \( x = \pi + \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k \) и \( x = \pi + \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).