11. (2 балла) Найдите промежутки убывания функции \( y = x^3 + 3x^2 - 24x + 1 \).

Решение:

Функция убывает там, где ее производная отрицательна.

Найдем производную функции \( y = x^3 + 3x^2 - 24x + 1 \):

\( y' = (x^3 + 3x^2 - 24x + 1)' = 3x^2 + 6x - 24 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 + 6x - 24 = 0 \).

Разделим на 3:

\( x^2 + 2x - 8 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).

Найдем корни \( x \):

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).

Критические точки: \( x = -4 \) и \( x = 2 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных этими точками:

• При \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( y' = 3(-5)^2 + 6(-5) - 24 = 3(25) - 30 - 24 = 75 - 54 = 21 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -4 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 3(0)^2 + 6(0) - 24 = -24 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = 3(3)^2 + 6(3) - 24 = 3(9) + 18 - 24 = 27 + 18 - 24 = 45 - 24 = 21 > 0 \) (функция возрастает).

Функция убывает на интервале \( (-4; 2) \).

Ответ: \( (-4; 2) \).