11. Расскажите общую схему исследования и построения графика функции с помощью производной.

Схема исследования функции:

1. Найти область определения функции \( D(f) \).
2. Исследовать монотонность: найти производную \( f'(x) \), приравнять её к нулю и найти критические точки. Определить знаки \( f'(x) \) на интервалах между критическими точками. Если \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает, если \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
3. Найти точки экстремума: точки, в которых производная меняет знак. Если \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \), то это точка минимума. Если с \( + \) на \( - \), то это точка максимума. Вычислить значения функции в этих точках.
4. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости: найти вторую производную \( f''(x) \), приравнять её к нулю и найти точки. Определить знаки \( f''(x) \) на интервалах. Если \( f''(x) > 0 \), график выпуклый вниз (вогнутый). Если \( f''(x) < 0 \), график выпуклый вверх. Точки, где \( f''(x) \) меняет знак, являются точками перегиба.
5. Найти асимптоты: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
6. Построить график: отметить на координатной плоскости найденные точки (экстремумы, перегибы, точки пересечения с осями) и провести кривую, учитывая монотонность и выпуклость.