Задание 7. Решить неравенство. В ответ записать полученный промежуток: log₂(1 + 2x) > -1

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

\( 1 + 2x > 0 \)

\( 2x > -1 \)

\( x > -\frac{1}{2} \)

Теперь решим само неравенство. Перепишем \( -1 \) как логарифм по основанию 2:

\( -1 = \log_2 (2^{-1}) = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right) \)

Неравенство примет вид:

\( \log_2 (1 + 2x) > \log_2 \left(\frac{1}{2}\right) \)

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( \log_2 t \) является возрастающей. Следовательно, мы можем опустить знак логарифма, сохранив направление неравенства:

\( 1 + 2x > \frac{1}{2} \)

\( 2x > \frac{1}{2} - 1 \)

\( 2x > -\frac{1}{2} \)

\( x > -\frac{1}{4} \)

Теперь учтем ОДЗ \( x > -\frac{1}{2} \). Результат \( x > -\frac{1}{4} \) полностью удовлетворяет ОДЗ, так как \( -\frac{1}{4} > -\frac{1}{2} \).

Таким образом, решением неравенства является промежуток \( \left(-\frac{1}{4}; +\infty\right) \).

Ответ: \(\left(-\frac{1}{4}; +\infty\right)\)