Задание 4. Найти значение выражения: \(\frac{\log_{9} 13}{\log_{49} 13}\)

Решение:

Воспользуемся формулой смены основания логарифма: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\). Применим её к знаменателю:

\(\log_{49} 13 = \frac{\log_9 13}{\log_9 49}\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(\frac{\log_{9} 13}{\frac{\log_{9} 13}{\log_{9} 49}} = \log_{9} 13 \cdot \frac{\log_{9} 49}{\log_{9} 13} = \log_{9} 49\)

Представим \( 49 = 7^2 \) и \( 9 = 3^2 \).

\(\log_{9} 49 = \log_{3^2} 7^2\)

Применим свойство логарифма \(\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b\):

\(\frac{2}{2} \log_3 7 = \log_3 7\)

Ответ: \(\log_3 7\)