Задание 6. Найти корень уравнения. Если корней несколько, ты в ответе указать больший: (2/9)^(2x+3) = 4.5^(x-2)

Решение:

Перепишем уравнение, представив основания степеней в виде простых множителей:

\( \frac{2}{9} = \frac{2}{3^2} \)

\( 4.5 = \frac{9}{2} = \frac{3^2}{2} \)

Теперь подставим это в уравнение:

\( \left(\frac{2}{3^2}\right)^{2x+3} = \left(\frac{3^2}{2}\right)^{x-2} \)

\( \frac{2^{2x+3}}{(3^2)^{2x+3}} = \frac{(3^2)^{x-2}}{2^{x-2}} \)

\( \frac{2^{2x+3}}{3^{4x+6}} = \frac{3^{2x-4}}{2^{x-2}} \)

Перенесём все члены с \( 2 \) в левую часть, а с \( 3 \) — в правую:

\( 2^{2x+3} \cdot 2^{x-2} = 3^{2x-4} \cdot 3^{4x+6} \)

\( 2^{(2x+3) + (x-2)} = 3^{(2x-4) + (4x+6)} \)

\( 2^{3x+1} = 3^{6x+2} \)

\( 2^{3x+1} = 3^{2(3x+1)} \)

\( 2^{3x+1} = (3^2)^{3x+1} \)

\( 2^{3x+1} = 9^{3x+1} \)

Для того чтобы степени с одинаковым показателем были равны, либо показатели степени равны нулю, либо основания равны.

Случай 1: Показатель степени равен нулю.

\( 3x+1 = 0 \)

\( 3x = -1 \)

\( x = -\frac{1}{3} \)

В этом случае \( 2^0 = 9^0 \), что верно \( 1 = 1 \).

Случай 2: Основания равны.

\( 2 = 9 \)

Это неверно.

Следовательно, единственный корень уравнения — \( x = -\frac{1}{3} \).

Ответ: -\(\frac{1}{3}\)