6. 5 x√x - \frac{4}{\sqrt{x}}.

Для нахождения первообразной функции необходимо найти интеграл от данной функции.

$$F(x) = \int (x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}) dx$$

$$F(x) = \int x^{3/2} dx - 4 \int x^{-1/2} dx$$

$$F(x) = \frac{x^{(3/2)+1}}{(3/2)+1} - 4 \cdot \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C$$

$$F(x) = \frac{x^{5/2}}{5/2} - 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$$

$$F(x) = \frac{2}{5} x^{5/2} - 8 x^{1/2} + C$$

$$F(x) = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} - 8 \sqrt{x} + C$$

Ответ: $$\frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} - 8 \sqrt{x} + C$$