2. Выясните, сколько корней имеет уравнение lg(x+4)+lg(x+1) = 1.

Давай решим уравнение \[lg(x + 4) + lg(x + 1) = 1\]

Используем свойство логарифмов, чтобы объединить два логарифма:

\[lg((x + 4)(x + 1)) = 1\]

Теперь избавимся от логарифма, используя определение логарифма:

\[(x + 4)(x + 1) = 10^1\]

\[x^2 + x + 4x + 4 = 10\]

\[x^2 + 5x + 4 - 10 = 0\]

\[x^2 + 5x - 6 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49\]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Теперь проверим корни на соответствие области определения логарифмов:

Для \(lg(x + 4)\):

\[x + 4 > 0\]

\[x > -4\]

Для \(lg(x + 1)\):

\[x + 1 > 0\]

\[x > -1\]

Корень \(x_1 = 1\) удовлетворяет обоим условиям, так как \(1 > -1\) и \(1 > -4\).

Корень \(x_2 = -6\) не удовлетворяет условиям, так как \(-6 < -1\) и \(-6 < -4\).

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1 корень

Ты молодец! У тебя всё получится!