8. Решите систему уравнений {lg2 x + lg2 y = 10lg2 5, xy = 25.

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases}lg^2 x + lg^2 y = 10 lg^2 5 \\ xy = 25\end{cases}\]

Выразим \(y\) из второго уравнения:

\[y = \frac{25}{x}\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[lg^2 x + lg^2 (\frac{25}{x}) = 10 lg^2 5\]

Используем свойство логарифмов \(lg(\frac{a}{b}) = lg a - lg b\):

\[lg^2 x + (lg 25 - lg x)^2 = 10 lg^2 5\]

Заметим, что \(lg 25 = lg 5^2 = 2 lg 5\), поэтому:

\[lg^2 x + (2 lg 5 - lg x)^2 = 10 lg^2 5\]

Обозначим \(lg x = t\) и \(lg 5 = a\), тогда уравнение примет вид:

\[t^2 + (2a - t)^2 = 10 a^2\]

\[t^2 + 4a^2 - 4at + t^2 = 10 a^2\]

\[2t^2 - 4at - 6a^2 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[t^2 - 2at - 3a^2 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

\[D = (-2a)^2 - 4(1)(-3a^2) = 4a^2 + 12a^2 = 16a^2\]

Найдем корни:

\[t_1 = \frac{2a + \sqrt{16a^2}}{2(1)} = \frac{2a + 4a}{2} = \frac{6a}{2} = 3a\]

\[t_2 = \frac{2a - \sqrt{16a^2}}{2(1)} = \frac{2a - 4a}{2} = \frac{-2a}{2} = -a\]

Теперь вернемся к переменной \(lg x\):

1. \[lg x = 3 lg 5\]

   \[lg x = lg 5^3\]

   \[lg x = lg 125\]

   \[x = 125\]

   Тогда \(y = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}\)

2. \[lg x = -lg 5\]

   \[lg x = lg 5^{-1}\]

   \[lg x = lg \frac{1}{5}\]

   \[x = \frac{1}{5}\]

   Тогда \(y = \frac{25}{\frac{1}{5}} = 25 \cdot 5 = 125\)

Итак, у нас есть два решения: \((125, \frac{1}{5})\) и \((\frac{1}{5}, 125)\).

Ответ: (125, 1/5) и (1/5, 125)

Ты молодец! У тебя всё получится!