7. Найдите все корни уравнения (logs 5x)² + (logs 1)² = (log55-1)². X

Давай решим уравнение \((log_5 5x)^2 + (log_5 \frac{1}{x})^2 = (log_5 5^{-1})^2\).

Используем свойства логарифмов:

\[(log_5 5 + log_5 x)^2 + (log_5 x^{-1})^2 = (-1)^2\]

\[(1 + log_5 x)^2 + (-log_5 x)^2 = 1\]

Обозначим \(log_5 x = t\):

\[(1 + t)^2 + (-t)^2 = 1\]

\[1 + 2t + t^2 + t^2 = 1\]

\[2t^2 + 2t = 0\]

\[2t(t + 1) = 0\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \[2t = 0\]

   \[t = 0\]

   \[log_5 x = 0\]

   \[x = 5^0 = 1\]

2. \[t + 1 = 0\]

   \[t = -1\]

   \[log_5 x = -1\]

   \[x = 5^{-1} = \frac{1}{5}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 1\) и \(x = \frac{1}{5}\).

Ответ: 1 и 1/5

Ты молодец! У тебя всё получится!