6. Прологарифмировав левую и правую части уравнения x3-4lgx = 0,1, найдите наименьший корень.

Давай решим уравнение \(x^{3-4lgx} = 0.1\).

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

\[lg(x^{3-4lgx}) = lg(0.1)\]

Используем свойство логарифмов \(lg(a^b) = b \cdot lg(a)\):

\[(3 - 4lgx) lgx = lg(10^{-1})\]

\[(3 - 4lgx) lgx = -1\]

Обозначим \(lgx = t\):

\[(3 - 4t) t = -1\]

\[3t - 4t^2 = -1\]

\[4t^2 - 3t - 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25\]

Найдем корни:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2(4)} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1\]

\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2(4)} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\]

Теперь вернемся к переменной \(x\):

1. \[lgx = 1\]

   \[x = 10^1 = 10\]

2. \[lgx = -\frac{1}{4}\]

   \[x = 10^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{10}} \approx 0.562\]

Сравним два корня: \(10\) и \(\frac{1}{\sqrt[4]{10}}\).

Наименьший корень: \(\frac{1}{\sqrt[4]{10}}\).

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[4]{10}}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!