10. Найдите наибольший корень уравнения log2 x + (x - 1)log2 x = 6 - 2x.

Давай решим уравнение \(log_2^2 x + (x - 1)log_2 x = 6 - 2x\).

Перенесем все члены в одну сторону:

\[(log_2 x)^2 + (x - 1)log_2 x + 2x - 6 = 0\]

Обозначим \(log_2 x = t\), тогда уравнение примет вид:

\[t^2 + (x - 1)t + 2x - 6 = 0\]

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно \(t\). Найдем дискриминант D:

\[D = (x - 1)^2 - 4(1)(2x - 6) = x^2 - 2x + 1 - 8x + 24 = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\]

Найдем корни:

\[t_1 = \frac{-(x - 1) + \sqrt{(x - 5)^2}}{2(1)} = \frac{1 - x + |x - 5|}{2}\]

\[t_2 = \frac{-(x - 1) - \sqrt{(x - 5)^2}}{2(1)} = \frac{1 - x - |x - 5|}{2}\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \(x \geq 5\), то \(|x - 5| = x - 5\), тогда:

   \[t_1 = \frac{1 - x + x - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

   \[t_2 = \frac{1 - x - x + 5}{2} = \frac{6 - 2x}{2} = 3 - x\]

2. Если \(x < 5\), то \(|x - 5| = 5 - x\), тогда:

   \[t_1 = \frac{1 - x + 5 - x}{2} = \frac{6 - 2x}{2} = 3 - x\]

   \[t_2 = \frac{1 - x - 5 + x}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Таким образом, \(t_1 = 3 - x\) и \(t_2 = -2\).

1. \[log_2 x = 3 - x\]

   \[x = 2^{3 - x}\]

   \[x = \frac{8}{2^x}\]

   При \(x = 2\) получаем \(2 = \frac{8}{4} = 2\), верно.

   При \(x = 1\) получаем \(1 = \frac{8}{2} = 4\), неверно.

   При \(x = 3\) получаем \(3 = \frac{8}{8} = 1\), неверно.

   То есть \(x = 2\) является корнем.

2. \[log_2 x = -2\]

   \[x = 2^{-2} = \frac{1}{4}\]

Итак, у нас есть два корня: \(x = 2\) и \(x = \frac{1}{4}\).

Наибольший корень: \(2\).

Ответ: 2

Ты молодец! У тебя всё получится!