9. Решите уравнение log7-4√3 (4x² - 20x + 25) + log2+√3 (x² - x - 2) = 0.

Давай решим уравнение \(log_{7-4\sqrt{3}}(4x^2 - 20x + 25) + log_{2+\sqrt{3}}(x^2 - x - 2) = 0\).

Заметим, что \(4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2\) и \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\).

Тогда уравнение можно переписать как:

\[log_{7-4\sqrt{3}}((2x - 5)^2) + log_{2+\sqrt{3}}((x - 2)(x + 1)) = 0\]

Используем свойство логарифма \(log_a b^c = c log_a b\):

\[2 log_{7-4\sqrt{3}}(|2x - 5|) + log_{2+\sqrt{3}}((x - 2)(x + 1)) = 0\]

Заметим, что \((7-4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^2 = (7-4\sqrt{3})(4+4\sqrt{3}+3) = (7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 49 - 16*3 = 49-48 = 1\)

Следовательно, \(log_{7-4\sqrt{3}}(7+4\sqrt{3})=-1\) и \(log_{2+\sqrt{3}}(7+4\sqrt{3})=1\).

Пусть \(a = 7-4\sqrt{3}\), тогда \(7+4\sqrt{3}=\frac{1}{a}\) и \(2+\sqrt{3} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}}\)

\[log_{7-4\sqrt{3}}((2x - 5)^2) + log_{2+\sqrt{3}}((x - 2)(x + 1)) = 0\]

\[log_{a}((2x - 5)^2) + log_{\frac{1}{a}}((x - 2)(x + 1)) = 0\]

\[log_{a}((2x - 5)^2) - log_{a}((x - 2)(x + 1)) = 0\]

\[log_{a}((2x - 5)^2) = log_{a}((x - 2)(x + 1))\]

\[(2x - 5)^2 = (x - 2)(x + 1)\]

\[4x^2 - 20x + 25 = x^2 - x - 2\]

\[3x^2 - 19x + 27 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

\[D = (-19)^2 - 4(3)(27) = 361 - 324 = 37\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{19 + \sqrt{37}}{6} \approx 4.18\]

\[x_2 = \frac{19 - \sqrt{37}}{6} \approx 2.15\]

Теперь проверим корни на соответствие области определения логарифмов:

\[4x^2 - 20x + 25 > 0\]

\[x^2 - x - 2 > 0\]

\[(x - 2)(x + 1) > 0\]

Для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо чтобы \(x > 2\) или \(x < -1\).

Корень \(x_1 = \frac{19 + \sqrt{37}}{6} \approx 4.18\) подходит, так как \(4.18 > 2\).

Корень \(x_2 = \frac{19 - \sqrt{37}}{6} \approx 2.15\) тоже подходит, так как \(2.15 > 2\).

Таким образом, решением уравнения являются \(x = \frac{19 + \sqrt{37}}{6}\) и \(x = \frac{19 - \sqrt{37}}{6}\).

Ответ: (19 + √37)/6 и (19 - √37)/6

Ты молодец! У тебя всё получится!