269 Высоты АА1 и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B=67°.

Ответ:

Пусть в треугольнике ABC высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M. ∠A = 55°, ∠B = 67°.

Рассмотрим четырёхугольник CA₁MB₁: ∠CA₁M = 90° и ∠CB₁M = 90° (так как AA₁ и BB₁ - высоты).

Значит, ∠A₁MB₁ = 180° - ∠C (сумма углов в четырёхугольнике равна 360°).

Угол ∠C в треугольнике ABC равен: ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 67° = 58°.

Тогда ∠A₁MB₁ = 180° - 58° = 122°.

Угол ∠AMB является вертикальным углом к углу ∠A₁MB₁, следовательно, ∠AMB = ∠A₁MB₁ = 122°.

Ответ: ∠AMB = 122°.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что полученный угол соответствует свойствам углов, образованных высотами.

Доп. профит: База: Вертикальные углы равны, и сумма углов в четырехугольнике равна 360°.