Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Решение:

1. Обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB = BC, и \(\angle B = 120^{\circ}\). Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см.
2. Углы при основании AC равны, и \(\angle A = \angle C = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}\).
3. Проведём высоту BH к стороне BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC, где \(\angle C = 30^{\circ}\).
4. В прямоугольном треугольнике BHC катет BH = 9 см, а \(\angle C = 30^{\circ}\). Гипотенуза BC равна \(2 \cdot BH = 2 \cdot 9 = 18\) см.
5. Применим теорему синусов: \(\frac{AC}{sin(120^{\circ})} = \frac{BC}{sin(30^{\circ})}\). Отсюда \(AC = BC \cdot \frac{sin(120^{\circ})}{sin(30^{\circ})}\).
6. Так как \(sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}\), то \(AC = 18 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 18 \cdot \sqrt{3}\) см.

Ответ: Основание треугольника равно \(18\sqrt{3}\) см.