4. Вычислите значение sin2x, если cosx = 1/2 и 3П/2 <х<2 п

Пошаговое решение:

• Нам нужно найти \( \sin 2x \). Используем формулу двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
• Известно, что \( \cos x = \frac{1}{2} \). Найдем \( \sin x \), используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
• Подставляем значение косинуса: \( \sin^2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \), следовательно, \( \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
• Извлекаем квадратный корень: \( \sin x = ±\frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Учитывая, что \( \frac{3π}{2} < x < 2π \), угол x находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Значит, \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Теперь подставляем значения \( \sin x \) и \( \cos x \) в формулу двойного угла: \( \sin 2x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)