10. Решите уравнение 3 sin² x - 7 sin x cos x + 2 cos² x = 0;

Пошаговое решение:

• Запишем уравнение: \( 3 \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0 \).
• Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (при условии, что \( \cos x ≠ 0 \)): \( 3 \tan^2 x - 7 \tan x + 2 = 0 \).
• Пусть \( t = \tan x \), тогда уравнение принимает вид: \( 3t^2 - 7t + 2 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \).
• Тогда \( t_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) и \( t_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
• Таким образом, либо \( \tan x = 2 \), либо \( \tan x = \frac{1}{3} \).
• Решим уравнение \( \tan x = 2 \): \( x = \arctan(2) + πk \), где k — целое число.
• Решим уравнение \( \tan x = \frac{1}{3} \): \( x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + πk \), где k — целое число.

Ответ: \( x = \arctan(2) + πk, x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + πk, k ∈ Z \)