Вычислить: ctg a, если cos a = 2/3, α ∈ (0; π/2)

Решение:

Мы знаем, что \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Чтобы найти \( \operatorname{ctg} \alpha \), нам нужно найти \( \sin \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставим значение \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \):

\( \sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \)

\( \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 \)

\( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \)

Так как \( \alpha ∈ (0; \frac{\pi}{2}) \), \( \sin \alpha \) положительный:

\( \sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

Теперь найдем \( \operatorname{ctg} \alpha \):

\( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)

Рационализируем знаменатель:

\( \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)