Вариант 3. №4. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK = 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK лежит точка A так, что AK : AN = 1 : 3. Найти AM.

Так как \(NK=20\) см и \(AK:AN=1:3\), всего имеется 4 части. Поэтому \(AK=5\) см, \(AN=15\) см.

В равнобедренном треугольнике высота из N к основанию MK делит основание пополам. Пусть H — середина MK. Тогда \(MH=5\) см. Высота:

\[NH=\sqrt{MN^2-MH^2}=\sqrt{20^2-5^2}=\sqrt{375}=5\sqrt{15}.\]

Разместим точки так, чтобы \(H=(0,0)\text{, }M=(-5,0)\text{, }N=(0,5\sqrt{15})\). Точка A делит NK так, что \(AN:NK=15:20=3:4\), поэтому \(A=\frac14N+\frac34K\), где \(K=(5,0)\). Тогда горизонтальная координата A равна \(15/4\), а вертикальная — \(5\sqrt{15}/4\).

Следовательно, \[AM^2=\left(\frac{35}{4}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt{15}}{4}\right)^2=\frac{1225+375}{16}=100,\] поэтому \(AM=10\) см.

Ответ: 10 см.