Вариант 3. №2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. На стороне AB взята точка K так, что OK ⟂ AB и OK = 4√3 см. Найти сторону ромба и вторую диагональ, если BD = 16 см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OB=OD=8\) см. В прямоугольном треугольнике AOB высота OK к гипотенузе AB удовлетворяет соотношению \(OK^2=AK\cdot KB\), а для вычисления стороны удобно использовать площадь.

Площадь ромба: \(S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=8AC\). Также \(S=AB\cdot OK=4\sqrt3\,AB\). При этом из прямоугольного треугольника с катетами \(AC/2\text{ и }BD/2=8\) и гипотенузой AB:

\[AB^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2+8^2.\]

Из равенства площадей и последующего решения получаем \(AB=8\) см, \(AC=4\sqrt7\) см. Следовательно, вторая диагональ равна \(4\sqrt7\) см.

Ответ: сторона ромба 8 см; вторая диагональ \(4\sqrt7\) см.