Вариант 3. №3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD AB = 9 см, BC = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Доказать, что ABCD — трапеция.

Рассмотрим треугольники ABD и BCD. По теореме косинусов:

\[\cos\angle ABD=\frac{AB^2+BD^2-AD^2}{2\cdot AB\cdot BD}=\frac{81+144-36}{216}=\frac78.\]

\[\cos\angle BDC=\frac{BD^2+CD^2-BC^2}{2\cdot BD\cdot CD}=\frac{144+256-64}{384}=\frac78.\]

Следовательно, \(\angle ABD=\angle BDC\). Это накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущей BD, поэтому \(AB\parallel CD\).

Четырёхугольник ABCD имеет одну пару параллельных противоположных сторон, следовательно, является трапецией.

Ответ: \(ABCD\) — трапеция, так как \(AB\parallel CD\).