2.Уравнение с заменой переменной 2log²₃x+3log₃x−2=0.

Ответ: x₁ = ∛(1/9), x₂ = 3

Пусть y = log₃x. Тогда уравнение принимает вид: 2y² + 3y - 2 = 0.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.

Корни уравнения:

• y₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + √25) / (2 * 2) = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2
• y₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - √25) / (2 * 2) = (-3 - 5) / 4 = -8 / 4 = -2

Теперь найдем x, используя y = log₃x:

• Для y₁ = 1/2: log₃x = 1/2, x₁ = 3^(1/2) = √3
• Для y₂ = -2: log₃x = -2, x₂ = 3^(-2) = 1/3² = 1/9

Таким образом, x₁ = √3 и x₂ = 1/9.

Проверим корни:

• ОДЗ: x > 0
• x₁ = √3 > 0 - подходит
• x₂ = 1/9 > 0 - подходит

Подставим корни в исходное уравнение, чтобы убедиться в их правильности:

• 2(log₃√3)² + 3log₃√3 - 2 = 2(1/2)² + 3(1/2) - 2 = 2(1/4) + 3/2 - 2 = 1/2 + 3/2 - 2 = 4/2 - 2 = 2 - 2 = 0 (верно)
• 2(log₃(1/9))² + 3log₃(1/9) - 2 = 2(-2)² + 3(-2) - 2 = 2(4) - 6 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 (верно)

Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = √3, x₂ = 1/9