12. Решите неравенство log₁/₃ (3x+1) ≤ log₁/₃(5x-9). В ответе укажите наибольшее целое решение.

12. Решим неравенство: $$log_{\frac{1}{3}} (3x+1) \leq log_{\frac{1}{3}} (5x - 9)$$

Т.к. основание логарифма меньше 1, при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный: $$3x + 1 \geq 5x - 9$$

Перенесем слагаемые с x в правую часть, числа - в левую: $$1 + 9 \geq 5x - 3x$$

Упростим: $$10 \geq 2x$$

Тогда: $$x \leq 5$$

Условие существования логарифма: $$\begin{cases}3x + 1 > 0\\5x - 9 > 0\end{cases}$$

Решим первое неравенство: $$3x > -1$$

Выразим x: $$x > -\frac{1}{3}$$

Решим второе неравенство: $$5x > 9$$

Выразим x: $$x > \frac{9}{5} = 1.8$$

Получаем, что $$x > 1.8$$

Наибольшее целое решение: 5

Ответ: 5