Решите уравнение: log₂(4+x) = log₂(2-x) + 2

Решим уравнение log₂(4+x) = log₂(2-x) + 2

1. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма $$log_a{b} + log_a{c} = log_a{b \cdot c}$$ и $$log_a{a} = 1$$. Представим 2 как log₂4. Получим: $$log_2{(4+x)} = log_2{(2-x)} + log_2{4}$$.
2. $$log_2{(4+x)} = log_2{(4 \cdot (2-x))}$$.
3. Так как логарифмы равны и имеют одинаковое основание, то аргументы логарифмов также должны быть равны: $$4+x = 4 \cdot (2-x)$$.
4. Раскроем скобки: $$4+x = 8 - 4x$$.
5. Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа - в другую: $$x + 4x = 8 - 4$$.
6. Упростим уравнение: $$5x = 4$$.
7. Найдем x: $$x = \frac{4}{5} = 0.8$$.
8. Проверим, принадлежит ли найденное значение x области определения логарифмов. Должны выполняться условия: $$4+x > 0$$ и $$2-x > 0$$.
9. Подставим x = 0.8: $$4+0.8 = 4.8 > 0$$ и $$2-0.8 = 1.2 > 0$$. Оба условия выполняются.

Ответ: x = 0.8