183. Решите неравенства: a) x²-10x+21≥0; д) 9x²-8x-1≤0; и) -7х2 +18х+920;

183. Решите неравенства:

a) $$x^2 - 10x + 21 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 10x + 21 = 0$$

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$$

$$x_1 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10+4}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10-4}{2} = 3$$

Изобразим числовую прямую и отметим на ней точки 3 и 7. Расставим знаки на интервалах, которые получаются при разбиении числовой прямой точками 3 и 7.

      +             -            +
------------------------------------>
             3             7

Так как $$x^2 - 10x + 21 \ge 0$$, то выбираем интервалы, где знак «+».

$$x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$$

д) $$9x^2 - 8x - 1 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$9x^2 - 8x - 1 = 0$$

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$$

$$x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{18} = \frac{8+10}{18} = 1$$

$$x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{18} = \frac{8-10}{18} = -\frac{1}{9}$$

Изобразим числовую прямую и отметим на ней точки $$- \frac{1}{9}$$ и 1. Расставим знаки на интервалах, которые получаются при разбиении числовой прямой точками $$- \frac{1}{9}$$ и 1.

      +             -            +
------------------------------------>
          -1/9             1

Так как $$9x^2 - 8x - 1 \le 0$$, то выбираем интервалы, где знак «-».

$$x \in [-\frac{1}{9}; 1]$$

и) $$-7x^2 + 18x + 9 \ge 0$$

Умножим на -1:

$$7x^2 - 18x - 9 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$7x^2 - 18x - 9 = 0$$

$$D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 324 + 252 = 576$$

$$x_1 = \frac{18 + \sqrt{576}}{14} = \frac{18+24}{14} = 3$$

$$x_2 = \frac{18 - \sqrt{576}}{14} = \frac{18-24}{14} = -\frac{3}{7}$$

Изобразим числовую прямую и отметим на ней точки $$\frac{-3}{7}$$ и 3. Расставим знаки на интервалах, которые получаются при разбиении числовой прямой точками $$\frac{-3}{7}$$ и 3.

      +             -            +
------------------------------------>
         -3/7             3

Так как $$-7x^2 + 18x + 9 \ge 0$$, то выбираем интервал, где знак «+».

$$x \in [-\frac{3}{7}; 3]$$

Ответ: a) $$x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$$; д) $$x \in [-\frac{1}{9}; 1]$$; и) $$x \in [-\frac{3}{7}; 3]$$