1 Решение неравенств: √x+2<x;

1 Решение неравенств:

Для решения неравенства $$√{x+2} < x$$ выполним следующие шаги:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • Под корнем должно быть неотрицательное выражение: $$x + 2 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≥ -2$$.
   • Так как корень всегда неотрицателен, то правая часть неравенства должна быть положительной: $$x > 0$$.
   • Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $$x > 0$$.
2. Возведем обе части неравенства в квадрат (учитывая, что обе части неотрицательны):
   • $$(√{x+2})^2 < x^2$$
   • $$x + 2 < x^2$$
3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:
   • $$x^2 - x - 2 > 0$$
4. Решим квадратное неравенство:
   • Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - x - 2 = 0$$.
   • Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$.
   • Корни: $$x_1 = \frac{1 - √9}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ и $$x_2 = \frac{1 + √9}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$.
5. Определим интервалы, где $$x^2 - x - 2 > 0$$:
   • Так как парабола направлена вверх, то неравенство выполняется при $$x < -1$$ или $$x > 2$$.
6. Учитываем ОДЗ ($$x > 0$$):
   • $$x < -1$$ не подходит, так как $$x > 0$$.
   • $$x > 2$$ подходит.

Ответ: $$x > 2$$